光滑数

p-1光滑（Pollard）

如果一个整数的所有素因子都不大于 B，我们称这个数为 B-Smooth 数。

设 p−1 是 B-Smooth 的，可设 p−1=p1p2⋯pn(∀1≤i≤n,pi≤B)，

若 p1,p2,⋯,pn 两两不同，则 p1p2⋯pn∣B!⇒(p−1)∣B!⇒B!=k(p−1)。

因此 aB!≡ak(p−1)≡1(modp)，假设 N=pq，计算 gcd(aB!−1，N)，只要结果大于 0 小于 N，那么结果就为 p。

exp

from gmpy2 import *
def pollard(N):
    a = 2
    n = 2
    while True:
        a = powmod(a, n, N)
        p = gcd(a-1, N)
        if p != 1 and p != N:
            q = n //p
            print("p =", p)
            print("q =", q)
        n += 1

题目

from random import choice
from Crypto.Util.number import isPrime, sieve_base as primes
from flag import flag
def getPrime(bits):
    while True:
        n = 2
        while n.bit_length() < bits:
            n *= choice(primes)
        if isPrime(n + 1):
            return n + 1
e = 0x10001
m = int.from_bytes(flag.encode(), 'big')
p, q = [getPrime(2048) for _ in range(2)]
n = p * q
c = pow(m, e, n)
n = 
c = 

脚本

from primefac import *
import libnum
e = 0x10001
N = 32849718197337581823002243717057659218502519004386996660885100592872201948834155543125924395614928962750579667346279456710633774501407292473006312537723894221717638059058796679686953564471994009285384798450493756900459225040360430847240975678450171551048783818642467506711424027848778367427338647282428667393241157151675410661015044633282064056800913282016363415202171926089293431012379261585078566301060173689328363696699811123592090204578098276704877408688525618732848817623879899628629300385790344366046641825507767709276622692835393219811283244303899850483748651722336996164724553364097066493953127153066970594638491950199605713033004684970381605908909693802373826516622872100822213645899846325022476318425889580091613323747640467299866189070780620292627043349618839126919699862580579994887507733838561768581933029077488033326056066378869170169389819542928899483936705521710423905128732013121538495096959944889076705471928490092476616709838980562233255542325528398956185421193665359897664110835645928646616337700617883946369110702443135980068553511927115723157704586595844927607636003501038871748639417378062348085980873502535098755568810971926925447913858894180171498580131088992227637341857123607600275137768132347158657063692388249513
c = 26308018356739853895382240109968894175166731283702927002165268998773708335216338997058314157717147131083296551313334042509806229853341488461087009955203854253313827608275460592785607739091992591431080342664081962030557042784864074533380701014585315663218783130162376176094773010478159362434331787279303302718098735574605469803801873109982473258207444342330633191849040553550708886593340770753064322410889048135425025715982196600650740987076486540674090923181664281515197679745907830107684777248532278645343716263686014941081417914622724906314960249945105011301731247324601620886782967217339340393853616450077105125391982689986178342417223392217085276465471102737594719932347242482670320801063191869471318313514407997326350065187904154229557706351355052446027159972546737213451422978211055778164578782156428466626894026103053360431281644645515155471301826844754338802352846095293421718249819728205538534652212984831283642472071669494851823123552827380737798609829706225744376667082534026874483482483127491533474306552210039386256062116345785870668331513725792053302188276682550672663353937781055621860101624242216671635824311412793495965628876036344731733142759495348248970313655381407241457118743532311394697763283681852908564387282605279108
from gmpy2 import *
def pollard(N):
    a = 2
    n = 2
    while True:
        a = powmod(a, n, N)
        p = gcd(a-1, N)
        if p != 1 and p != N:
            q = n //p
            print("p =", p)
            print("q =", q)
        n += 1

p = 178449493212694205742332078583256205058672290603652616240227340638730811945224947826121772642204629335108873832781921390308501763661154638696935732709724016546955977529088135995838497476350749621442719690722226913635772410880516639651363626821442456779009699333452616953193799328647446968707045304702547915799734431818800374360377292309248361548868909066895474518333089446581763425755389837072166970684877011663234978631869703859541876049132713490090720408351108387971577438951727337962368478059295446047962510687695047494480605473377173021467764495541590394732685140829152761532035790187269724703444386838656193674253139
q = 184084121540115307597161367011014142898823526027674354555037785878481711602257307508985022577801782788769786800015984410443717799994642236194840684557538917849420967360121509675348296203886340264385224150964642958965438801864306187503790100281099130863977710204660546799128755418521327290719635075221585824217487386227004673527292281536221958961760681032293340099395863194031788435142296085219594866635192464353365034089592414809332183882423461536123972873871477755949082223830049594561329457349537703926325152949582123419049073013144325689632055433283354999265193117288252918515308767016885678802217366700376654365502867
phi = (p-1)*(q-1)
d = invert(e,phi)
m = pow(c,d,N)
print(libnum.n2s(int(m)))
#Lazzaro @ https://lazzzaro.github.io

p+1光滑（William）

exp

def mlucas(v, a, n):
    """ Helper function for williams_pp1().  Multiplies along a Lucas sequence modulo n. """
    v1, v2 = v, (v**2 - 2) % n
    for bit in bin(a)[3:]: 
        v1, v2 = ((v1**2 - 2) % n, (v1*v2 - v) % n) if bit == "0" else ((v1*v2 - v) % n, (v2**2 - 2) % n)
    return v1

for v in count(1):
    for p in primegen():
        e = ilog(isqrt(n), p)
        if e == 0: 
            break
        for _ in xrange(e): 
            v = mlucas(v, p, n)
        g = gcd(v-2, n)
        if 1 < g < n: 
            return g # g|n
        if g == n: 
            break
# Lazzaro @ https://lazzzaro.github.io